Геометрический смысл смешанного произведения. Как доказывается?

Тут обычно идут обратным путем. Нужно сконструировать функцию f, в которую вы можете засунуть три вектора, а она выдаст вам объем построенного на них параллелепипеда. Большими буквами буду писать векторы, маленькими — числа.
Функция:
f(A, B, C)
Чего мы от нее хотим?
—
1) Очевидное требование: при удлиннении любого из векторов в k раз объем параллелепипеда увеличивается в k раз.
f(k A, B, C) = f(A, k B, C) =
= f(A, B, k C) = k f(A, B, C).
—
2) Следующее очевидное требование: если хотя бы два из трех векторов параллельны, то функция должна возвращать 0. Как этого добиться? Потребовать антисимметричность. Т. е. чтобы функция умножалась на -1, если поменять между собой два любых ее аргумента.
f(A, B, C) = — f(B, A, C) = f(B, C, A).
Попробуем теперь подставить в нее два одинаковых вектора и поменять их местами:
f(A, A, B) = -f(A, A, B),
отсюда сразу получаем:
f(A, A, B) = 0.
С параллельными векторами будет так же:
f(A, kA, B) = k f(A, A, B) = 0.
Т. е. как мы и хотели, но за это простое решение мы платим возникновением знака у нашего объема.
—
3) Неочевидное требование:
f(A + B, C, D) = f(A, C, D) + f(B, C, D).
Его нужно достать из вашего геометрического воображения. Для плоскости все просто, для 3д воображение придется напрячь.
—
Усе, мы потребовали от этой функции всего, чего нужно было, чтобы она выдавала нам объем. А теперь увидим, что есть всего одна единственная функция, удовлетворяющая этим требованиям (на самом деле две, но они отличаются всего лишь знаком, выбор которого есть просто выбор ориентации пространства).
Берем эту функции, суем в нее три вектора, и первый раскладываем по стандартному базису I, J, K:
f(A, B, C) = f(ax I+ ay J + az K, B, C) =
= ax f(I, B, C) + ay f(J, B, C) + az f(K, B, C).
Получившаяся штука выглядит как записанное через компоненты скалярное произведение вектора A на какой-то странный вектор F с компонентами:
fx = f(I, B, C),
fy = f(J, B, C),
fz = f(K, B, C).
Если теперь расписать через компоненты векторы B и C то получим (играясь со свойствами f) для компонентов F знакомые выражения:
fx = f(I, J, K) {by cz — bz cy},
fy = f(I, J, K) {bz cx — bx cz},
fz = f(I, J, K) {bx cy — by cx}.
Договариваемся, чему равен объем единичного кубика:
f(I, J, K) = (+/-)1,
и видим, что F — это просто векторное произведение B и C. Тогда можем все это записать через привычные обозначения:
f(A, B, C) = (A, [B x C]).