Линейная алгебра, переход к новому базису

Можно вообще обойтись без обращения матриц. Если я верно понимаю рисунок, то:
i' = — i — cos(a) j,
j' = — i + cos(a) j.
Или, в обратную сторону:
i = -(i' + j') / 2,
j = (j' — i') / (2 cos(a)).
—
Теперь можно посмотреть, чего будет с поизвольным вектором при переходе из базиса в базис. Берем вектор a в старом базисе и переходим в новый:
a = a1 i + a2 j = — a1 (i' + j') / 2 + a2 (j' — i') / (2 cos(a)) =
= {(-1/2) a1 + (-1/[2 cos(a)]) a2} i' + {(-1/2) a1 + (1/[2 cos(a)]) a2} j' =
= a1' i' + a2' j'.
Отсюда видим, как нужно осуществлять переход в новый базис:
a1' = (-1/2) a1 + (-1/[2 cos(a)]) a2,
a2' = (-1/2) a1 + (1/[2 cos(a)]) a2;
и матрицу перехода из старого базиса в новый:
A11 = -1 / 2,
A12 = -1 / (2 cos(a)),
A21 = -1 / 2,
A22 = 1 / (2 cos(a)).
—
Аналогично можно получить матрицу перехода из нового базиса в старый:
a = a1' i' + a2' j' = a1 (- i — cos(a) j) + a2 (- i + cos(a) j) =
= {- a1' — a2'} i + {- cos(a) a1' + cos(a) a2'} j =
= a1 i + a2 j,
тогда:
a1 = — a1' — a2',
a2 = — cos(a) a1' + cos(a) a2';
и матрица перехода из нового базиса в старый:
B11 = -1,
B12 = -1,
B21 = -cos(a),
B22 = cos(a).
Можно умножением убедиться, что A B = 1.
—
Если вы хотите еще и скалярное произведение в новом базисе считать, тогда вам понадобится матрица Грама. Ессно, можно о ней ничео не знать, она сама собою получится. Просто берем и умножаем скалярно два вектора, представленных в новом базисе:
a = a1' i' + a2' j',
b = b1' i' + b2' j',
(a,b)' = a1' b1' (i', i') + a1' b2' (i', j') + a2' b1' (j', i') + a2' b2' (j', j').
Если теперь хочется переписать это скалярное произведние в виде обычного евклидового скалярного произведения, то придется ввести матрицу Грама:
(a, b)' = a1' (Г11 b1' + Г12 b2') + a2' (Г21 b1' + Г22 b2'),
т. е. получили такую вот свертку с матрицей Грама:
(a, b)' = [a, Г b],
(круглыми скобками обозначил скалярное произведение, правильно работающее в любом базисе, а квадратными — просто сумму произведений компонент векторов, как в обычном базисе).
Компоненты матрицы Грама у нас уже вылезли сами собой:
Г11 = (i',i'),
Г12 = (i', j'),
Г21 = (j',i'),
Г22 = (j', j').
Или можно было сделать иначе. В старом базисе:
(a, b) = [a, b],
в новом базисе:
(a, b)' = ?
Берем произвдение в старом базисе, и переходим в новый:
(a, b) = [a, b] = [B a', B b'] = [a', B^t B b'] = [a', Г b'] = (a, b)'
Получили выражение для матрицы Грама через матрицу перехода:
Г = B^t B.