Матстатистика решение задачи

Для нахождения доверительного интервала для **среднего квадратического отклонения** (( sigma )) в случае нормального распределения используется метод на основе **хи-квадрат распределения**. Ваша задача — найти доверительный интервал для стандартного отклонения ( sigma ), если по данным выборки ( n = 10 ) из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение ( s = 2 ), при надежности ( alpha = 0.999 ).

### Шаги решения:

1. **Определение необходимых параметров**:
— ( n = 10 ) — размер выборки.
— ( s = 2 ) — исправленное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение выборки).
— ( alpha = 0.999 ) — надежность.
— Доверительный интервал для стандартного отклонения строится на основе хи-квадрат распределения.

2. **Рассчитываем границы для хи-квадрат распределения**:
Для этого нам нужны **квантильные значения** хи-квадрат распределения. Поскольку мы ищем доверительный интервал для стандартного отклонения, то необходимо найти два критических значения хи-квадрат распределения:

— ( chi^2_{alpha/2} ) — левая граница для хи-квадрат распределения.
— ( chi^2_{1-alpha/2} ) — правая граница для хи-квадрат распределения.

Для надежности ( alpha = 0.999 ), уровень значимости ( alpha/2 = 0.0005 ) и ( 1 — alpha/2 = 0.9995 ).

3. **Нахождение квантилей хи-квадрат распределения**:
Мы используем степень свободы ( nu = n — 1 = 10 — 1 = 9 ).

По таблицам хи-квадрат или с помощью калькулятора, можно найти соответствующие критические значения:

— ( chi^2_{0.0005, 9} approx 0.187 ) (левая граница).
— ( chi^2_{0.9995, 9} approx 21.666 ) ( правая граница).

4. **Вычисление доверительного интервала для дисперсии**:
Доверительный интервал для дисперсии ( sigma^2 ) находится по формулам:

[
left( frac{(n-1)s^2}{chi^2_{1-alpha/2}}, frac{(n-1)s^2}{chi^2_{alpha/2}} right)
]

Подставим значения:

[
left( frac{(10-1) times 2^2}{21.666}, frac{(10-1) times 2^2}{0.187} right)
]

[
left( frac{9 times 4}{21.666}, frac{9 times 4}{0.187} right)
]

[
left( frac{36}{21.666}, frac{36}{0.187} right)
]

[
left( 1.66, 192.02 right)
]

Это — доверительный интервал для **дисперсии** ( sigma^2 ).

5. **Нахождение доверительного интервала для стандартного отклонения ( sigma )**:
Для получения доверительного интервала для **стандартного отклонения** ( sigma ), нужно взять квадратные корни из границ доверительного интервала для дисперсии.

[
left( sqrt{1.66}, sqrt{192.02} right)
]

[
left( 1.29, 13.84 right)
]

### Ответ:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения ( sigma ) с надежностью 0.999 будет:

[
(1.29, 13.84)
]

То есть, с вероятностью 99.9% истинное значение стандартного отклонения ( sigma ) лежит в пределах от 1.29 до 13.84.