Решить систему уравнений. По формуле Крамера подробно пожалуйста

хз

Решение системы уравнений по формуле Крамера

Система уравнений:

x — y — z = -3
x — 2y — 3z = -4
5x — y + 2z = -11
content_copy
Use code with caution.

1. Вычисляем определитель матрицы коэффициентов (Δ):

Δ = | 1 -1 -1 |
| 1 -2 -3 |
| 5 -1 2 |
content_copy
Use code with caution.

Δ = 1*(-22 — (-3)(-1)) — (-1)(12 — (-3)5) + (-1)(1*(-1) — (-2)5)
Δ = 1(-4 — 3) — (-1)(2 + 15) + (-1)(-1 + 10)
Δ = -7 + 17 — 9
Δ = 1

2. Вычисляем определитель матрицы для x (Δx):

Заменяем первый столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

Δx = | -3 -1 -1 |
| -4 -2 -3 |
| -11 -1 2 |
content_copy
Use code with caution.

Δx = -3*(-22 — (-3)(-1)) — (-1)(-42 — (-3)(-11)) + (-1)(-4*(-1) — (-2)(-11))
Δx = -3(-4 — 3) — (-1)(-8 — 33) + (-1)(4 — 22)
Δx = -3*(-7) + 41 — 18
Δx = 21 + 41 — 18
Δx = 44

3. Вычисляем определитель матрицы для y (Δy):

Заменяем второй столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

Δy = | 1 -3 -1 |
| 1 -4 -3 |
| 5 -11 2 |
content_copy
Use code with caution.

Δy = 1*(-42 — (-3)(-11)) — (-3)(12 — (-3)5) + (-1)(1*(-11) — (-4)5)
Δy = 1(-8 — 33) + 3*(2 + 15) — 1*(-11 + 20)
Δy = -41 + 51 — 9
Δy = 1

4. Вычисляем определитель матрицы для z (Δz):

Заменяем третий столбец матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

Δz = | 1 -1 -3 |
| 1 -2 -4 |
| 5 -1 -11 |
content_copy
Use code with caution.

Δz = 1*(-2*(-11) — (-4)(-1)) — (-1)(1*(-11) — (-4)5) + (-3)(1*(-1) — (-2)5)
Δz = 1(22 — 4) + 1*(-11 + 20) — 3*(-1 + 10)
Δz = 18 + 9 — 27
Δz = 0

5. Вычисляем значения x, y, z:

x = Δx / Δ = 44 / 1 = 44
y = Δy / Δ = 1 / 1 = 1
z = Δz / Δ = 0 / 1 = 0

Решение:

x = 44
y = 1
z = 0

Для решения системы уравнений по формуле Крамера, сначала найдем определитель матрицы системы. Матрица системы имеет вид:

A=
⎝
⎛
​

1
1
5
​

−1
−2
−1
​

−1
−3
2
​

⎠
⎞
​

Определитель матрицы A вычисляется по формуле:

Δ=
∣
∣
​

1
1
5
​

−1
−2
−1
​

−1
−3
2
​

∣
∣
​

Раскладываем определитель по первой строке:

Δ=1⋅
∣
∣
​

−2
−1
​

−3
2
​

∣
∣
​
−(−1)⋅
∣
∣
​

1
5
​

−3
2
​

∣
∣
​
+(−1)⋅
∣
∣
​

1
5
​

−2
−1
​

∣
∣
​

Вычисляем каждый из миноров:

∣
∣
​

−2
−1
​

−3
2
​

∣
∣
​
=(−2)⋅2−(−3)⋅(−1)=−4−3=−7

∣
∣
​

1
5
​

−3
2
​

∣
∣
​
=1⋅2−(−3)⋅5=2+15=17

∣
∣
​

1
5
​

−2
−1
​

∣
∣
​
=1⋅(−1)−(−2)⋅5=−1+10=9

Подставляем миноры в формулу:

Δ=1⋅(−7)+1⋅17+(−1)⋅9=−7+17−9=1

Так как Δ≠0, система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера. Обозначим Δ
x
​
, Δ
y
​
, Δ
z
​
как определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца матрицы A на столбец свободных членов.

Δ
x
​
=
∣
∣
​

−3
−4
−11
​

−1
−2
−1
​

−1
−3
2
​

∣
∣
​

Раскладываем по первой строке:

Δ
x
​
=(−3)⋅
∣
∣
​

−2
−1
​

−3
2
​

∣
∣
​
−(−1)⋅
∣
∣
​

−4
−11
​

−3
2
​

∣
∣
​
+(−1)⋅
∣
∣
​

−4
−11
​

−2
−1
​

∣
∣
​

Вычисляем каждый из миноров:

∣
∣
​

−2
−1
​

−3
2
​

∣
∣
​
=−7

∣
∣
​

−4
−11
​

−3
2
​

∣
∣
​
=(−4)⋅2−(−3)⋅(−11)=−8−33=−41

∣
∣
​

−4
−11
​

−2
−1
​

∣
∣
​
=(−4)⋅(−1)−(−2)⋅(−11)=4−22=−18

Подставляем миноры в формулу:

Δ
x
​
=(−3)⋅(−7)+1⋅(−41)+(−1)⋅(−18)=21−41+18=−2

По формулам Крамера:

x=
Δ
Δ
x
​

​
=
1
−2
​
=−2

y=
Δ
Δ
y
​

​
=
1
17
​
=17

z=
Δ
Δ
z
​

​
=
1
9
​
=9

Ответ: x=−2, y=17, z=9