Вопрос по линалу и аналгем

Чтобы понять, почему координаты нормального вектора плоскости можно подставить в каноническое уравнение прямой, давайте рассмотрим основные понятия.

Нормальный вектор плоскости: Пусть у нас есть плоскость, заданная уравнением Ax+By+Cz+D=0. Вектор n=(A,B,C) является нормальным вектором этой плоскости. Он перпендикулярен всем векторам, лежащим в плоскости.

Каноническое уравнение прямой: В трехмерном пространстве прямая может быть задана векторным уравнением:
r=r0​+td
где r0​ — точка на прямой, d — направляющий вектор прямой, а t — параметр.

Связь между нормальным вектором и направляющим вектором: Если прямая лежит в плоскости, то её направляющий вектор d должен быть перпендикулярен нормальному вектору n. Это означает, что скалярное произведение нормального вектора и направляющего вектора равно нулю:
n⋅d=0

Теперь, чтобы подставить координаты нормального вектора в уравнение прямой, мы можем использовать следующее:

Если у нас есть нормальный вектор n=(A,B,C), и мы хотим найти прямую, которая лежит в плоскости, заданной этим нормальным вектором, мы можем выбрать любой вектор d, который удовлетворяет условию n⋅d=0. Например, если d=(d1​,d2​,d3​), то мы можем решить уравнение: Ad1​+Bd2​+Cd3​=0 для нахождения подходящих значений d1​, d2​ и d3​.

Таким образом, подставляя координаты нормального вектора в уравнение прямой, мы можем гарантировать, что прямая будет лежать в плоскости, так как её направляющий вектор будет перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Пример

Рассмотрим плоскость 2x+3y−z+4=0. Нормальный вектор будет n=(2,3,−1).

Если мы хотим найти прямую, которая лежит в этой плоскости, мы можем выбрать, например, направляющий вектор d=(3,−2,0). Проверим:
n⋅d=2⋅3+3⋅(−2)+(−1)⋅0=6−6+0=0
Скалярное произведение равно нулю, значит, прямая с направляющим вектором (3,−2,0) будет лежать в плоскости.

Таким образом, мы можем использовать нормальный вектор для определения условий, которым должен удовлетворять направляющий вектор прямой, чтобы прямая лежала в данной плоскости.

Если Вы ищете прямую, проходящую перпендикулярно плоскости, то лучшим вариантом направляющего вектора является нормальный вектор плоскости. Ведь он тоже перпендикулярен плоскости. Вспомните каноническое уравнение прямой:
(x — x0)/a = (y — y0)/b = (z — z0)/c
где (a, b, c) — направляющий вектор прямой (т.е параллельный данной прямой).
А теперь вспомним уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
где (A, B, C) — нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярен плоскости)
Взяв его в качестве направляющего вектора вы обеспечите перпендикулярность вашей прямой плоскости.